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Soit $(u_n)$ une suite réelle positive décroissante. On pose $v_n = 2^nu_{2^n}$. Montrer que les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ont même nature.

Applications : Retrouver la convergence des séries de Riemann $\sum\frac1{n^\alpha}$.

Étudier la convergence des séries de Bertrand : $\sum\frac1{n(\ln n)^\alpha}$.