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Soit \((u_n)\) une suite réelle positive décroissante. On pose \(v_n = 2^nu_{2^n}\). Montrer que les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) ont même nature.
Applications : Retrouver la convergence des séries de Riemann \(\sum\frac1{n^\alpha}\).
Étudier la convergence des séries de Bertrand : \(\sum\frac1{n(\ln n)^\alpha}\).