Etudions tout d’abord la convergence de la série de terme général \(\frac{u_n}{S_n}\).

Si \(\frac{u_n}{S_n}\) tend vers \(0\) alors

\(0<\frac{u_n}{S_n}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}-\ln\left(1-\frac{u_n}{S_n}\right)=\ln\left(\frac{S_{n-1}}{S_n}\right)=\ln(S_n) -\ln(S_{n-1})\).

Par hypothèse, \(\lim_{n \rightarrow +\infty}S_n=+\infty\). On en déduit que la série de terme général \(\ln(S_n) - \ln(S_{n-1})\) est divergente car \(\sum_{k=1}^{n}\ln(S_k) - \ln(S_{k-1}) =\ln(S_n)-\ln(S_0)\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}+\infty\). Dans ce cas, la série de terme général \(\frac{u_n}{S_n}\) diverge ce qui est aussi le cas si \(\frac{u_n}{S_n}\) ne tend pas vers \(0\).

Donc, dans tous les cas, la série de terme général \(\frac{u_n}{S_n}\) diverge.

Si \(\alpha\leqslant1\), puisque \(S_n\) tend vers \(+\infty\), à partir d’un certain rang on a \(S_n^\alpha\leqslant S_n\) et donc \(\frac{u_n}{S_n^\alpha}\geqslant\frac{u_n}{S_n}\). Donc, si \(\alpha\leqslant1\), la série de terme général \(\frac{u_n}{S_n^\alpha}\) diverge.

Si \(\alpha> 1\), puisque la suite \((S_n)\) est croissante,

\(0<\frac{u_n}{S_n^\alpha}=\frac{S_n-S_{n-1}}{S_n^\alpha}=\int_{S_{n-1}}^{S_n}\frac{dx}{S_n^\alpha}\leqslant\frac{dx}{x^\alpha}=\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{S_{n-1}^{\alpha-1}}-\frac{1}{S_n^{\alpha-1}}\right)\),

qui est le terme général d’une série télescopique convergente puisque \(\frac{1}{S_n^{\alpha-1}}\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers l’infini. Dans ce cas, la série de terme général \(\frac{u_n}{S_n^\alpha}\) converge.

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