Etudions tout d’abord la convergence de la série de terme général $\frac{u_n}{S_n}$ .

Si $\frac{u_n}{S_n}$ tend vers $0$ alors

$0<\frac{u_n}{S_n}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}-\ln\left(1-\frac{u_n}{S_n}\right)=\ln\left(\frac{S_{n-1}}{S_n}\right)=\ln(S_n) -\ln(S_{n-1})$ .

Par hypothèse, $\lim_{n \rightarrow +\infty}S_n=+\infty$ . On en déduit que la série de terme général $\ln(S_n) - \ln(S_{n-1})$ est divergente car $\sum_{k=1}^{n}\ln(S_k) - \ln(S_{k-1}) =\ln(S_n)-\ln(S_0)\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}+\infty$ . Dans ce cas, la série de terme général $\frac{u_n}{S_n}$ diverge ce qui est aussi le cas si $\frac{u_n}{S_n}$ ne tend pas vers $0$ .

Donc, dans tous les cas, la série de terme général $\frac{u_n}{S_n}$ diverge.

Si $\alpha\leqslant1$ , puisque $S_n$ tend vers $+\infty$ , à partir d’un certain rang on a $S_n^\alpha\leqslant S_n$ et donc $\frac{u_n}{S_n^\alpha}\geqslant\frac{u_n}{S_n}$ . Donc, si $\alpha\leqslant1$ , la série de terme général $\frac{u_n}{S_n^\alpha}$ diverge.

Si $\alpha> 1$ , puisque la suite $(S_n)$ est croissante,

$0<\frac{u_n}{S_n^\alpha}=\frac{S_n-S_{n-1}}{S_n^\alpha}=\int_{S_{n-1}}^{S_n}\frac{dx}{S_n^\alpha}\leqslant\frac{dx}{x^\alpha}=\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{S_{n-1}^{\alpha-1}}-\frac{1}{S_n^{\alpha-1}}\right)$ ,

qui est le terme général d’une série télescopique convergente puisque $\frac{1}{S_n^{\alpha-1}}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l’infini. Dans ce cas, la série de terme général $\frac{u_n}{S_n^\alpha}$ converge.

La série de terme général $\frac{u_n}{S_n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$ .

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