exo7 4407

Soit $f : \R \to {\C^*}$ telle que : $\forall\ x,y\in\R,\ f(x+y) = f(x)f(y)$ .

Si $f$ est dérivable, montrer qu’il existe $\lambda \in \C$ tel que : $\forall\ x \in \R,\ f(x) = e^{\lambda x}$ .

Obtenir le même résultat si $f$ est seulement supposée continue (prendre une primitive, $F$ , de $f$ et montrer qu’elle est de classe $\C^2$ ).