Étude de séries numériques (1)

Dans chacun des cas, dire si la série de terme général $u_n$ est absolument convergente, semi-convergente, divergente ou grossièrement divergente.

💡 Indication

Pour montrer qu’une série est semi-convergente, deux démonstrations sont nécessaires : montrer que $\sum u_n$ converge, et que $\sum |u_n|$ diverge.

$u_n=\dfrac{\sin(n^2)}{n^2}$

$u_n=\dfrac{(2n+1)^4}{(7n^2+1)^3}$

$u_n=\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^n$

$u_n=\dfrac{n}{2^n}$

$u_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}$

$u_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$

$u_n=\ln\!\left(1+e^{-n}\right)$

$u_n=\dfrac{n^{10000}}{n!}$

$u_n=\dfrac{\ln(n)}{n}$