Séries de même nature via un équivalent

Montrer que $0 \leq v_n < 1$ pour tout $n$, et que $v_n \leq u_n$.

Montrer que si $u_n \to 0$, alors $v_n \sim u_n$, et en déduire que $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.

Montrer que si $u_n$ ne tend pas vers $0$, alors $\sum u_n$ diverge. Montrer également que $v_n$ ne converge pas vers $0$ et en déduire que la série $\sum v_n$ diverge.

Conclure : $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.