Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et soit \(v_n = \dfrac{u_n}{1 + u_n}\).
1
Montrer que \(0 \leq v_n < 1\) pour tout \(n\), et que \(v_n \leq u_n\).
2
Montrer que si \(u_n \to 0\), alors \(v_n \sim u_n\), et en déduire que \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont de même nature.
3
Montrer que si \(u_n\) ne tend pas vers \(0\), alors \(\sum u_n\) diverge. Montrer également que \(v_n\) ne converge pas vers \(0\) et en déduire que la série \(\sum v_n\) diverge.
4
Conclure : \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont de même nature.