Soient, pour \(n>0\), \(u_n=\displaystyle{\frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}}\) et \(v_n=\ln u_n\).
1
Etudier la serie de terme général \(w_n\) où, pour \(n \geq 2,~w_n = v_n-v_{n-1}\) et \(w_1=v_1\).
2
En déduire, en utilisant la convergence de la suite des sommes partielles de \(w_n\), que la suite \(u_n\) converge vers \(\lambda >0\).
3
Déterminer \(\lambda\) en utilisant la formule de Wallis : \(\lim _{n \rightarrow + \infty} \displaystyle{\frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt{n}(2n)!}}= \sqrt{\pi}\). En déduire un équivalent de \(n!\).
Indication : Exprimer \(n!\) (respectivement \((2n)!\)) en fonction de \(u_n\) (resp. de \(u_{2n}\)) et remplacer-les dans la formule de Wallis.