exo7 1930

Etudier la serie de terme général  $w_n$ où, pour $n \geq 2,~w_n = v_n-v_{n-1}$ et $w_1=v_1$.

En déduire, en utilisant la convergence de la suite des sommes partielles de $w_n$, que la suite $u_n$ converge vers $\lambda >0$.

Déterminer $\lambda$ en utilisant la formule de Wallis : $\lim _{n \rightarrow + \infty} \displaystyle{\frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt{n}(2n)!}}= \sqrt{\pi}$. En déduire un équivalent de $n!$.

Indication : Exprimer $n!$ (respectivement $(2n)!$) en fonction de $u_n$ (resp. de $u_{2n}$) et remplacer-les dans la formule de Wallis.