Pour $n\geqslant2$ , $v_n=\frac{u_n+1-1}{(1+u_1)\ldots(1+u_n)}=\frac{1}{(1+u_1)\ldots(1+u_{n-1})}-\frac{1}{(1+u_1)\ldots(1+u_n)}$ et d’autre part $v_1=1-\frac{1}{1+u_1}$ . Donc, pour $n\geqslant2$

$\sum_{k=1}^{n}v_k =1-\frac{1}{(1+u_1)\ldots(1+u_n)}$ (somme télescopique).

Si la série de terme général $u_n$ converge alors $\lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=0$ et donc $0<u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\ln(1+u_n)$ . Donc la série de terme général $\ln(1+u_n)$ converge ou encore la suite $\left(\ln\left(\prod_{k=1}^{n}(1+u_k)\right)\right)_{n\geqslant1}$ converge vers un certain réel $\ell$ . Mais alors la suite $\left(\prod_{k=1}^{n}(1+u_k)\right)_{n\geqslant1}$ converge vers le réel strictement positif $P=e^{\ell}$ . Dans ce cas, la suite $\left(\sum_{k=1}^{n}v_k\right)_{n\geqslant1}$ converge vers $1-\frac{1}{P}$ .

Si la série de terme général $u_n$ diverge alors la série de terme général $\ln(1+u_n)$ diverge vers $+\infty$ et il en est de même que la suite $\left(\prod_{k=1}^{n}(1+u_k)\right)_{n\geqslant1}$ . Dans ce cas, la suite $\left(\sum_{k=1}^{n}v_k\right)_{n\geqslant1}$ converge vers $1$ .

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