Pour \(n\geqslant2\), \(v_n=\frac{u_n+1-1}{(1+u_1)\ldots(1+u_n)}=\frac{1}{(1+u_1)\ldots(1+u_{n-1})}-\frac{1}{(1+u_1)\ldots(1+u_n)}\) et d’autre part \(v_1=1-\frac{1}{1+u_1}\). Donc, pour \(n\geqslant2\)

\(\sum_{k=1}^{n}v_k =1-\frac{1}{(1+u_1)\ldots(1+u_n)}\) (somme télescopique).

Si la série de terme général \(u_n\) converge alors \(\lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=0\) et donc \(0<u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\ln(1+u_n)\). Donc la série de terme général \(\ln(1+u_n)\) converge ou encore la suite \(\left(\ln\left(\prod_{k=1}^{n}(1+u_k)\right)\right)_{n\geqslant1}\) converge vers un certain réel \(\ell\). Mais alors la suite \(\left(\prod_{k=1}^{n}(1+u_k)\right)_{n\geqslant1}\) converge vers le réel strictement positif \(P=e^{\ell}\). Dans ce cas, la suite \(\left(\sum_{k=1}^{n}v_k\right)_{n\geqslant1}\) converge vers \(1-\frac{1}{P}\).

Si la série de terme général \(u_n\) diverge alors la série de terme général \(\ln(1+u_n)\) diverge vers \(+\infty\) et il en est de même que la suite \(\left(\prod_{k=1}^{n}(1+u_k)\right)_{n\geqslant1}\). Dans ce cas, la suite \(\left(\sum_{k=1}^{n}v_k\right)_{n\geqslant1}\) converge vers \(1\).

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