Pour \(n\in\Nn^*\), on note \(S_n\) la somme des \(n\) premiers termes de la série considérée et on pose \(H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\). Il est connu que \(H_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\ln n+\gamma+o(1)\).

Soit \(m\in\Nn^*\).

\[\begin{align*}\ensuremath S_{m(p+q)}&=\left(1+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2p-1}\right) -\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2q}\right)+\left(\frac{1}{2p+1}+...+\frac{1}{4p-1}\right) -\left(\frac{1}{2q+2}+...+\frac{1}{4q}\right) +...\\ &\;+\left(\frac{1}{2(m-1)p+1}+...+\frac{1}{2mp-1}\right) -\left(\frac{1}{2(m-1)q+2}+...+\frac{1}{2mq}\right)\\ &=\sum_{k=1}^{mp}\frac{1}{2k-1}-\sum_{k=1}^{mq}\frac{1}{2k}=\sum_{k=1}^{2mp}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{mp}\frac{1}{2k}-\sum_{k=1}^{mq}\frac{1}{2k}= H_{2mp} -\frac{1}{2}(H_{mp}+H_{mq})\\ &\underset{m\rightarrow+\infty}{=}(\ln(2mp)+\gamma) -\frac{1}{2}(\ln(mp) +\gamma+\ln(mq) +\gamma)+ o(1)=\ln2 +\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p}{q}\right)+o(1). \end{align*}\]

Ainsi, la suite extraite \((S_{m(p+q)})_{m\in\Nn^*}\) converge vers \(\ln2 +\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p}{q}\right)\).

Montrons alors que la suite \((S_n)_{n\in\Nn^*}\) converge. Soit \(n\in\Nn^*\). Il existe un unique entier naturel non nul \(m_n\) tel que \(m_n(p+q)\leqslant n <(m_n+1)(p+q)\) à savoir \(m_n=E\left(\frac{n}{p+q}\right)\).

\[\begin{align*}\ensuremath |S_n-S_{m_n(p+q)}|&\leqslant\frac{1}{2m_np+1}+\ldots+\frac{1}{2(m_n+1)p-1}+\frac{1}{2m_nq+2}+\frac{1}{2(m_n+1)q}\\ &\leqslant\frac{p}{2m_np+1}+\frac{q}{2m_nq+2}\leqslant\frac{1}{2m_n}+\frac{1}{2m_n}=\frac{1}{m_n}. \end{align*}\]

Soit alors \(\varepsilon>0\).

Puisque \(\lim_{n \rightarrow +\infty}m_n=+\infty\), il existe \(n_0\in\Nn^*\) tel que pour \(n\geqslant n_0\), \(\frac{1}{m_n}<\frac{\varepsilon}{2}\) et aussi \(\left|S_{m_n(p+q)}-\ln2-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p}{q}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}\). Pour \(n\geqslant n_0\), on a alors

\[\begin{align*}\ensuremath \left|S_{n}-\ln2 -\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p}{q}\right)\right|&\leqslant|S_n-S_{m_n(p+q)}|+\left|S_{m_n(p+q)}-\ln2-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p}{q}\right)\right|\leqslant\frac{1}{m_n}+\left|S_{m_n(p+q)}-\ln2-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p}{q}\right)\right|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \end{align*}\]

On a montré que \(\forall \varepsilon>0,\;\exists n_0\in\Nn^*/\;\forall n\in\Nn,\;(n\geqslant n_0\Rightarrow\left|S_{n}-\left(\ln2 +\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p}{q}\right)\right)\right|<\varepsilon)\) et donc, la série proposée converge et a pour somme \(\ln2 +\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p}{q}\right)\).

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