Soit \(\sigma\) une permutation de \(\llbracket1,n\rrbracket\). Montrons que la suite \(S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{\sigma(k)}{k^2}\), \(n\geqslant1\), ne vérifie pas le critère de Cauchy. Soit \(n\in\Nn^*\).

\[\begin{align*}\ensuremath S_{2n}-S_n&=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{\sigma(k)}{k^2}\geqslant\frac{1}{(2n)^2}\sum_{k=n+1}^{2n}\sigma(k)\\ &\geqslant\frac{1}{4n^2}(1+2+...+n)\;(\text{car les}\;n\;\text{entiers}\;\sigma(k),\;1\leqslant k\leqslant n,\;\text{sont strictement positifs et deux à deux distincts})\\ &=\frac{n(n+1)}{8n^2}\geqslant\frac{n^2}{8n^2}=\frac{1}{8}. \end{align*}\]

Si la suite \((S_n)\) converge, on doit avoir \(\lim_{n \rightarrow +\infty}(S_{2n}-S_n)=0\) ce qui contredit l’inégalité précédente. Donc la série de terme général \(\frac{\sigma(n)}{n^2}\), \(n\geqslant1\), diverge.

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