Soit \(X\) un espace métrique. Établir l’équivalence des assertions suivantes:
1
\(X\) est compact connexe.
2
Pour tout recouvrement ouvert \((U_i)_{i\in I}\), il existe \(n\in \Nn\) et \(i_1,...,i_n \in I\) tels que \[\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} =X \quad et \quad U_{i_k} \cap U_{i_{k+1}}\neq \emptyset \; \text{pour} \; k=1,...,n-1\; .\]