Soit \(f\) une application continue de \([a,b]\) dans \(\Rr\) vérifiant \[f({x+y\over2})\leq {1\over2}\Big(f(x)+f(y)\Big)\quad \forall x,y\in [a,b].\]
1
On suppose \(f(a)=f(b)=0\). On considère \(E=\{x\in ]a,b[\ /\ f(x)=\displaystyle\sup_{t\in[a,b]} f(t)\}\). Montrer que \(E\) est ouvert et fermé dans \(]a,b[\). En déduire que \(f\) est \(<0\) ou identiquement nulle sur \(]a,b[\).
2
Montrer dans tous les cas que \(f\) est convexe ie \(f\) vérifie \(f((1-t)x+ty)\leq (1-t)f(x)+tf(y)\) pour tous \(x,y\in [a,b]\) et \(t\in[0,1]\) (On se ramènera au cas a) en considérant \(f\) privée de sa corde sur \([a,b]\)).