exo7 6163

On suppose $f(a)=f(b)=0$. On considère $E=\{x\in ]a,b[\ /\ f(x)=\displaystyle\sup_{t\in[a,b]} f(t)\}$. Montrer que $E$ est ouvert et fermé dans $]a,b[$. En déduire que $f$ est $<0$ ou identiquement nulle sur $]a,b[$.

Montrer dans tous les cas que $f$ est convexe ie $f$ vérifie $f((1-t)x+ty)\leq (1-t)f(x)+tf(y)$ pour tous $x,y\in [a,b]$ et $t\in[0,1]$ (On se ramènera au cas a) en considérant $f$ privée de sa corde sur $[a,b]$).