Notons la frontière \(\mathrm{Fr}\, A = \bar A \setminus \mathring A\). Nous avons la partition \(X = \mathring A \cup \mathrm{Fr}\, A \cup (X \setminus \bar A)\). Si \(B \cap \mathrm{Fr}\, A = \varnothing\) alors \(B\subset \mathring A \cup (X \setminus \bar A)\).

De plus, par hypothèses, \(B \cap A \neq \varnothing\) et \(B \cap \mathrm{Fr}\, A = \varnothing\) or \(\mathring A= A \setminus \mathrm{Fr}\, A\) donc \(B \cap \mathring A \neq \varnothing\). Comme \(\mathrm{Fr}\, A = \mathrm{Fr}\, (X\setminus A)\) on a \(B\cap \mathrm{Fr}\, (X\setminus A) = \varnothing\). Par hypothèse \(B\cap (X\setminus A) \neq \varnothing\) donc \(B\cap (X\setminus \bar A) = (B\cap (X\setminus A)) \setminus (B\cap \mathrm{Fr}\, (X\setminus A)) \neq \varnothing\).

Nous avons montrer que \(B\) est inclus dans l’union de deux ouverts disjoints \(\mathring A\) et \(X\setminus \bar A\), d’intersection non vide avec \(B\), donc \(B\) n’est pas connexe. Par contraposition, si \(B\) est connexe alors \(B\) ne rencontre pas la frontière de \(A\).

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