Notons la frontière $\mathrm{Fr}\, A = \bar A \setminus \mathring A$ . Nous avons la partition $X = \mathring A \cup \mathrm{Fr}\, A \cup (X \setminus \bar A)$ . Si $B \cap \mathrm{Fr}\, A = \varnothing$ alors $B\subset \mathring A \cup (X \setminus \bar A)$ .

De plus, par hypothèses, $B \cap A \neq \varnothing$ et $B \cap \mathrm{Fr}\, A = \varnothing$ or $\mathring A= A \setminus \mathrm{Fr}\, A$ donc $B \cap \mathring A \neq \varnothing$ . Comme $\mathrm{Fr}\, A = \mathrm{Fr}\, (X\setminus A)$ on a $B\cap \mathrm{Fr}\, (X\setminus A) = \varnothing$ . Par hypothèse $B\cap (X\setminus A) \neq \varnothing$ donc $B\cap (X\setminus \bar A) = (B\cap (X\setminus A)) \setminus (B\cap \mathrm{Fr}\, (X\setminus A)) \neq \varnothing$ .

Nous avons montrer que $B$ est inclus dans l’union de deux ouverts disjoints $\mathring A$ et $X\setminus \bar A$ , d’intersection non vide avec $B$ , donc $B$ n’est pas connexe. Par contraposition, si $B$ est connexe alors $B$ ne rencontre pas la frontière de $A$ .

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