L’ensemble \(B\) est connexe si et seulement si toute fonction continue \(f:B\to \{0,1\}\) est constante. Soit alors \(f:B\to \{0,1\}\) une fonction continue et montrons qu’elle est constante. Remarquons que la restriction de \(f\) à tout ensemble \(B_a\) est constante (\(B_a\) est connexe).

On définit \(g : \Rr \longrightarrow \{0,1\}\) tel que \(g(x)\) prend la valeur qu’a \(f\) sur \(B_x\). Nous allons montrer que \(g\) est localement constante (on ne sait pas si \(g\) est continue).

Soit \(a \notin \Qq\) alors on a \((a,0)\in B\), \(f\) est une fonction continue et \(\{f(a,0)\}\) est un ouvert de \(\{0,1\}\), donc \(f^{-1}(\{ f(a,0) \})\) est un ouvert de \(B\). Donc il existe \(\epsilon >0\) tel que si \((x,y) \in (]a-\epsilon,a+\epsilon[\times ]-\epsilon,\epsilon[)\times B\) alors \(f(x,y)=f(a,0)\). Alors pour \(x\in ]a-\epsilon,a+\epsilon[\) on a \(g(x)=g(a)\) : si \(x\notin \Qq\) alors \(g(x)=f(x,0)=f(a,0)=g(a)\); et si \(x\in \Qq\) alors \(g(x)= f(x,\frac \epsilon 2) = f(a,0)=g(a)\). Donc \(g\) est localement constante au voisinage des point irrationnels.
Si \(a\in \Qq\) et soit \(b\in ]0,1]\) alors \(f\) est continue en \((a,b)\) donc il existe \(\epsilon >0\) tel que pour tout \(x\in ]a-\epsilon,a+\epsilon[\cap \Qq\), \(g(x)=f(x,b)=f(a,b)=g(a)\). Si maintenant \(x\in ]a-\epsilon,a+\epsilon[\cap (\Rr \setminus \Qq)\), on prend une suite \((x_n)\) de rationnels qui tendent vers \(x\). Comme \(f\) est continue alors \(g(a)=g(x_n)=f(x_n,b)\) tend vers \(f(x,b)=g(x)\). Donc \(g(a)=g(x)\). Nous avons montrer que \(g\) est localement constante au voisinage des point rationnels.
Bilan : \(g\) est localement constante sur \(\Rr\).

Comme \(\Rr\) est connexe, alors \(g\) est constante sur \(\Rr\). Donc \(f\) est constante sur \(\Rr\). Ce qu’il fallait démontrer.

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