On va démontrer à l’aide de la connexité, le résultat classique:
“\(f:{\R}\to{\R}\) continue injective \(\Longrightarrow\) \(f\) strictement monoton”.
Pour cela, considérons l’application \(F\) définie sur \(\R^2\) par \(F(x,y)=f(x)-f(y)\) et \(C=\{(x,y)\in{\R^2}\ /\ x>y\}\)
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Montrer que \(F(C)\) est un connexe de \(\R\).
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En déduire le résultat.