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On va démontrer à l’aide de la connexité, le résultat classique:

“$f:{\R}\to{\R}$ continue injective $\Longrightarrow$ $f$ strictement monoton”.

Pour cela, considérons l’application $F$ définie sur $\R^2$ par $F(x,y)=f(x)-f(y)$ et $C=\{(x,y)\in{\R^2}\ /\ x>y\}$