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On définit la projection stéréographique $h$ de ${\mathbb{S}^1}$ sur ${\Rr} \cup\{\infty\}$, $h(x,y)$ étant le point d’intersection avec l’axe réel de la droite issue de $(0,1)$ passant par $(x,y)$ si $(x,y)\not=(0,1)$ et $h(0,1)=\infty$. Vérifier qu’il s’agit d’un homéomorphisme. En déduire que ${\R}\cup\{\infty\}$ et ${\R}\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$ ne sont pas homéomorphes.