Montrons que \(\bar A\) n’est pas connexe par arcs. Soit \(O = (0,0)\) et \(P = (\frac{1}{2\pi},0)\) deux points de \(\bar A\), par l’absurde supposons qu’il existe un chemin \(\gamma : [0,1] \longrightarrow \bar A\) tel que \(\gamma(0)=O\) et \(\gamma(1)=P\). On décompose en coordonnées \(\gamma(t) = (\gamma_1(t),\gamma_2(t)) \in \Rr^2\). \(\gamma_1^{-1}(\{0\})\) est un fermé car \(\gamma_1\) est continue et de plus il est non vide car \(\gamma_1(0)=0\). Soit \(t_0 = \sup \gamma_1^{-1}(\{0\})\), comme l’ensemble est fermé alors \(\gamma_1(t_0)=0\) et de plus \(t_0 < 1\) car \(\gamma_1(1) = \frac 1 {2\pi}\).

On regarde ce qui se passe au temps \(t_0\), c’est l’instant ou notre chemin “quitte” l’ensemble \(\{0\}\times [-1,1]\). Notons \(y_0 = \gamma_2(t_0)\). Comme \(\gamma_2\) est continue en \(y_0\) et pour \(\epsilon = \frac 12\) il existe \(\eta>0\) tel que \((|t-t_0|<\eta \Rightarrow |\gamma_2(t)-y_0|<\frac12)\). Choisissons \(t_1\in ]t_0,t_0+\eta[\). Alors \(t_1>t_0\) donc \(\gamma_1(t_1) > 0\). Donc le point \(\gamma(t_1)=(\gamma_1(t_1),\gamma_2(t_1))\) est dans \(A\) (et plus seulement dans \(\bar A\)).

Supposons par exemple \(y_0 \le 0\), alors quand \(x\) parcourt \(]\gamma_1(t_0),\gamma_1(t_1)[\), \(\sin \frac 1x\) atteint la valeur \(1\) une infinité de fois. Donc il existe \(t_2 \in ]t_0,t_1[\) tel que \(\gamma_2(t_2)=1\). Donc \(\gamma(t_2) = (\gamma_1(t_2),1)\). Mais comme \(|t_2-t_0|< \eta\) alors \(|\gamma_2(t_2)-y_0|=|1-y_0| > \frac 12\). Ce qui contredit la continuité de \(\gamma_2\). Nous avons obtenu une contradiction donc \(\bar A\) n’est pas connexe par arcs.

exo7 2391