Montrons que $\bar A$ n’est pas connexe par arcs. Soit $O = (0,0)$ et $P = (\frac{1}{2\pi},0)$ deux points de $\bar A$ , par l’absurde supposons qu’il existe un chemin $\gamma : [0,1] \longrightarrow \bar A$ tel que $\gamma(0)=O$ et $\gamma(1)=P$ . On décompose en coordonnées $\gamma(t) = (\gamma_1(t),\gamma_2(t)) \in \Rr^2$ . $\gamma_1^{-1}(\{0\})$ est un fermé car $\gamma_1$ est continue et de plus il est non vide car $\gamma_1(0)=0$ . Soit $t_0 = \sup \gamma_1^{-1}(\{0\})$ , comme l’ensemble est fermé alors $\gamma_1(t_0)=0$ et de plus $t_0 < 1$ car $\gamma_1(1) = \frac 1 {2\pi}$ .

On regarde ce qui se passe au temps $t_0$ , c’est l’instant ou notre chemin “quitte” l’ensemble $\{0\}\times [-1,1]$ . Notons $y_0 = \gamma_2(t_0)$ . Comme $\gamma_2$ est continue en $y_0$ et pour $\epsilon = \frac 12$ il existe $\eta>0$ tel que $(|t-t_0|<\eta \Rightarrow |\gamma_2(t)-y_0|<\frac12)$ . Choisissons $t_1\in ]t_0,t_0+\eta[$ . Alors $t_1>t_0$ donc $\gamma_1(t_1) > 0$ . Donc le point $\gamma(t_1)=(\gamma_1(t_1),\gamma_2(t_1))$ est dans $A$ (et plus seulement dans $\bar A$ ).

Supposons par exemple $y_0 \le 0$ , alors quand $x$ parcourt $]\gamma_1(t_0),\gamma_1(t_1)[$ , $\sin \frac 1x$ atteint la valeur $1$ une infinité de fois. Donc il existe $t_2 \in ]t_0,t_1[$ tel que $\gamma_2(t_2)=1$ . Donc $\gamma(t_2) = (\gamma_1(t_2),1)$ . Mais comme $|t_2-t_0|< \eta$ alors $|\gamma_2(t_2)-y_0|=|1-y_0| > \frac 12$ . Ce qui contredit la continuité de $\gamma_2$ . Nous avons obtenu une contradiction donc $\bar A$ n’est pas connexe par arcs.

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