exo7 6146

Montrer qu’il y a équivalence pour $X$ espace topologique entre :

i) Toute application continue $\varphi : X\to {\Zz}$ est constante.

ii) $X$ est connexe.

Retrouver ainsi différents résultats du cours ($f(C)$ connexe si $C$ connexe et $f$ continue; $B$ connexe si $A$ connexe et $A\subset B\subset \overline A$; un produit de deux connexes est encore connexe; etc)

Soit $A,B$ connexes de $X$ tels que $\overline A\cap B\not =\emptyset$ ; montrer à l’aide de a) que $A\cup B$ est connexe.