Soit \(M\) un point intérieur au triangle \(ABC\). On pose \(a=BC\), \(b=CA\) et \(c=AB\). On note \(x\), \(y\), \(z\) et \(\mathcal{A}\) les aires respectives des triangles \(MBC\), \(MCA\), \(MAB\) et \(ABC\). On a

\(d(M,(BC))d(M,(CA))d(M(AB))=\frac{2\text{aire}(MBC)}{a}\frac{2\text{aire}(MCA)}{b}\frac{2\text{aire}(MAB)}{c}=\frac{8xyz}{abc}=\frac{8}{abc}xy(\mathcal{A}-x-y)\).

On doit donc déterminer le maximum de la fonction \(f(x,y)=xy(\mathcal{A}-x-y)\) quand \((x,y)\) décrit le triangle ouvert \(T=\{(x,y)\in\Rr^2,\;x>0,\;y>0,\;x+y<\mathcal{A}\}\). On admet que \(f\) admet un maximum global sur le triangle fermé \(T'=\{(x,y)\in\Rr^2,\;x\geqslant0,\;y\geqslant0,\;x+y\leqslant\mathcal{A}\}\) (cela résulte d’un théorème de math Spé : une fonction numérique continue sur un compact admet un minimum et un maximum ). Ce maximum est atteint dans l’intérieur \(T\) de \(T'\) car \(f\) est nulle au bord de \(T'\) et strictement positive à l’intérieur de \(T'\).

Puisque \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(T\) qui est un ouvert de \(\Rr^2\), \(f\) atteint son maximum sur \(T\) en un point critique de \(f\). Or, pour \((x,y)\in T^2\),

\[\begin{align*}\ensuremath \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\\ \rule{0mm}{6mm}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0 \end{array} \right.&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y(\mathcal{A}-x-y)-xy=0\\ y(\mathcal{A}-x-y)-xy=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y(\mathcal{A}-2x-y)=0\\ x(\mathcal{A}-x-2y)=0 \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 2x+y=\mathcal{A}\\ x+2y=\mathcal{A} \end{array} \right.\Leftrightarrow x=y=\frac{\mathcal{A}}{3}. \end{align*}\] Le maximum cherché est donc égal à \(\frac{8}{abc}\times\frac{\mathcal{A}}{3}\times\frac{\mathcal{A}}{3}\times\left(\mathcal{A}-\frac{\mathcal{A}}{3}-\frac{\mathcal{A}}{3}\right)=\frac{8\mathcal{A}^3}{27abc}\). (On peut montrer que ce maximum est obtenu quand \(M\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\)).

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