On pose \(D=\{(x,0),\;x\in\Rr\}\) puis \(\Omega=\Rr^2\setminus D\).

\(f\) est définie sur \(\Rr^2\).

\(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\Omega\) en vertu de théorèmes généraux et pour \((x,y)\in\Omega\),

\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y\cos\left( \frac{x}{y}\right)\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y\sin\left( \frac{x}{y}\right)-x\cos\left( \frac{x}{y}\right)\).

Etudions la continuité de \(f\) en \((0,0)\). Pour \((x,y)\neq(0,0)\),

\(|f(x,y)-f(0,0)|=\left\{ \begin{array}{l} y^2\left|\sin\left( \frac{x}{y}\right)\right|\;\text{si}\;y\neq0\\ \rule{0mm}{5mm}0\;\text{si}\;y=0 \end{array} \right.\leqslant\left\{ \begin{array}{l} y^2\;\text{si}\;y\neq0\\ \rule{0mm}{5mm}0\;\text{si}\;y=0 \end{array} \right.\leqslant y^2\).

Comme \(y^2\) tend vers \(0\) quand \((x,y)\) tend vers \(0\), \(\displaystyle\lim_{\substack{(x,y)\rightarrow(0,0)\\(x,y)\neq(0,0)}}f(x,y)=f(0,0)\) et donc \(f\) est continue en \((0,0)\) puis

\(f\) est continue sur \(\Rr^2\).

Etudions l’existence et la valeur éventuelle de \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,0)\), \(x_0\) réel donné. Pour \(x\neq x_0\),

\(\frac{f(x,0)-f(x_0,0)}{x-x_0}= \frac{0-0}{x-x_0}=0\).

Donc \(\frac{f(x,x_0)-f(x_0,0)}{x-x_0}\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(x_0\). On en déduit que \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,0)\) existe et \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,0)=0\). Finalement, la fonction \(\frac{\partial f}{\partial x}\) est définie sur \(\Rr^2\) par

\(\forall (x,y)\in\Rr^2\), \(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\left\{ \begin{array}{l} y\cos\left( \frac{x}{y}\right)\;\text{si}\;y\neq0\\ \rule{0mm}{5mm}0\;\text{si}\;y=0 \end{array} \right.\).

Etudions l’existence et la valeur éventuelle de \(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,0)\), \(x_0\) réel donné. Pour \(y\neq 0\),

\(\frac{f(x_0,y)-f(x_0,0)}{y-0}= \frac{y^2\sin\left( \frac{x_0}{y}\right)}{y}=y\sin\left( \frac{x_0}{y}\right)\).

On en déduit que \(\left| \frac{f(x_0,y)-f(x_0,0)}{y-0}\right|\leqslant|y|\) puis que \(\frac{f(x_0,y)-f(x_0,0)}{y-0}\) tend vers \(0\) quand \(y\) tend vers \(0\). Par suite, \(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,0)\) existe et \(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,0)=0\). Finalement, la fonction \(\frac{\partial f}{\partial y}\) est définie sur \(\Rr^2\) par

\(\forall (x,y)\in\Rr^2\), \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\left\{ \begin{array}{l} 2y\sin\left( \frac{x}{y}\right)-x\cos\left( \frac{x}{y}\right)\;\text{si}\;y\neq0\\ \rule{0mm}{5mm}0\;\text{si}\;y=0 \end{array} \right.\).

Etudions la continuité de \(\frac{\partial f}{\partial x}\) en \((x_0,0)\), \(x_0\) réel donné. Pour \((x,y)\in\Rr^2\),

\(\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)- \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,0)\right|=\left\{ \begin{array}{l} |y|\left|\cos\left( \frac{x}{y}\right)\right|\;\text{si}\;y\neq0\\ \rule{0mm}{5mm}0\;\text{si}\;y=0 \end{array} \right.\leqslant|y|\).

Quand \((x,y)\) tend vers \((0,0)\), \(|y|\) tend vers \(0\) et donc \(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\) tend vers \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,0)\) quand \((x,y)\) tend vers \((x_0,0)\). La fonction \(\frac{\partial f}{\partial x}\) est donc continue en \((x_0,0)\) et finalement

la fonction \(\frac{\partial f}{\partial x}\) est continue sur \(\Rr^2\).

Etudions la continuité de \(\frac{\partial f}{\partial y}\) en \((x_0,0)\), \(x_0\) réel donné. Supposons tout d’abord \(x_0=0\). Pour \((x,y)\in\Rr^2\),

\(\left| \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)- \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\right|=\left\{ \begin{array}{l} \left|2y\sin\left( \frac{x}{y}\right)-x\cos\left( \frac{x}{y}\right)\right|\;\text{si}\;y\neq0\\ \rule{0mm}{5mm}0\;\text{si}\;y=0 \end{array} \right.\leqslant2|y|+|x|\).

Quand \((x,y)\) tend vers \((0,0)\), \(|x|+2|y|\) tend vers \(0\) et donc \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\) tend vers \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\) quand \((x,y)\) tend vers \((0,0)\).

Supposons maintenant \(x_0\neq0\). Pour \(y\neq0\), \(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y)=2y\sin\left( \frac{x_0}{y}\right)-x_0\cos\left( \frac{x_0}{y}\right)\). Quand \(y\) tend vers \(0\), \(2y\sin\left( \frac{x_0}{y}\right)\) tend vers \(0\) car \(\left|2y\sin\left( \frac{x_0}{y}\right)\right|\) et \(x_0\cos\left( \frac{x_0}{y}\right)\) n’a pas de limite réelle car \(x_0\neq0\). Donc \(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y)\) n’a pas de limite quand \(y\) tend vers \(0\) et la fonction \(\frac{\partial f}{\partial y}\) n’est pas continue en \((x_0,0)\) si \(x_0\neq0\). On a montré que

\(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\Omega\cup\{(0,0)\}\).

Etudions l’existence et la valeur éventuelle de \(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(0,0)\). Pour \(x\neq0\),

\(\frac{ \frac{\partial f}{\partial y}(x,0)- \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{x-0}= \frac{0-0}{x}=0\).

Donc \(\frac{ \frac{\partial f}{\partial y}(x,0)- \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{x-0}\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(0\). On en déduit que \(\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}(0,0)\) existe et \(\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}(0,0)=0\).

Etudions l’existence et la valeur éventuelle de \(\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(0,0)\). Pour \(y\neq0\),

\(\frac{ \frac{\partial f}{\partial x}(0,y)- \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{y-0}= \frac{y\cos\left( \frac{0}{y}\right)}{y}=1\).

Donc \(\frac{ \frac{\partial f}{\partial x}(0,y)- \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{y-0}\) tend vers \(1\) quand \(y\) tend vers \(0\). On en déduit que \(\frac{\partial^2}{\partial y\partial x}(0,0)\) existe et \(\frac{\partial^2}{\partial y\partial x}(0,0)=1\). On a montré que \(\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}(0,0)\) et \(\frac{\partial^2}{\partial y\partial x}(0,0)\) existent et sont différents. D’après le théorème de Schwarz, \(f\) n’est pas de classe \(C^2\) sur \(\Omega\cup\{(0,0)\}\).

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