1
Soit \(f\) une fonction réelle d’une variable réelle de classe \({\rm C}^2\) dans un voisinage de \(0\in \mathbb R\) telle que \(f(0)=0\) et \(f^\prime(0)\not=0\). Montrer que la fonction réelle \(F\) des deux variables \(x\) et \(y\) définie dans un voisinage de \((0,0)\) par \(F(x,y)= f(x) f(y)\) n’a pas d’extremum relatif en \((0,0)\). Est-ce que le point \((0,0)\) est quand même critique? Si oui caractériser sa nature.
2
Déterminer les points critiques, puis les minima et les maxima locaux de \[f(x,y)=\sin(2\pi x)\sin(2\pi y).\] Remarque: en utilisant la périodicité de la fonction, on peut limiter le nombre de cas à étudier.