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Soit $f$ une fonction réelle d’une variable réelle de classe ${\rm C}^2$ dans un voisinage de $0\in \mathbb R$ telle que $f(0)=0$ et $f^\prime(0)\not=0$. Montrer que la fonction réelle $F$ des deux variables $x$ et $y$ définie dans un voisinage de $(0,0)$ par $F(x,y)= f(x) f(y)$ n’a pas d’extremum relatif en $(0,0)$. Est-ce que le point $(0,0)$ est quand même critique? Si oui caractériser sa nature.

Déterminer les points critiques, puis les minima et les maxima locaux de $$f(x,y)=\sin(2\pi x)\sin(2\pi y).$$ Remarque: en utilisant la périodicité de la fonction, on peut limiter le nombre de cas à étudier.