Sinon il existe $a\in\R^2$ telle que $g$ : $x \mapsto f(x)-(a\mid x)$ n’a pas de point critique, donc pas de minimum ni de maximum. On a aussi $|g(x)|/\|x\|\to +\infty$ lorsque $\|x\|\to\infty$ d’où $\sup(g) = +\infty$ et $\inf(g) = -\infty$ . Considérons pour $r> 0$ $E_r = \{x\in\R^2\text{ tq }\|x\|\ge r\}$ : $g(E_r)$ est une partie connexe de $\R$ donc un intervalle, et $\sup(g(E_r)) = \sup(g) = +\infty$ , $\inf(g(E_r)) = \inf(g) = -\infty$ , d’où $g(E_r) = \R$ . Ainsi il existe des $x$ de normes arbitrairement grandes tels que $g(x) = 0$ en contradiction avec la propriété $|g(x)|/\|x\| \to +\infty$ lorsque $\|x\|\to\infty$ .

Remarque : l’hypothèse $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ est surabondante, la classe $\mathcal{C}^1$ suffit à conclure.

exo7 4188