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En utilisant la relation : $\tan' = 1 + \tan^2$, exprimer $\tan^{(n)}$ en fonction de $\tan,\dots,\tan{(n-1)}$. En déduire que : $\forall\ x \in {[0,\pi/2[}$, $\tan^{(n)}(x) \ge 0$.

Montrer que la série de Taylor de $\tan$ en 0 converge sur $]-\pi/2,\pi/2[$.

Soit $f$ la somme de la série précédente. Montrer que $f' = 1+f^2$ et en déduire que $f = \tan$.

Prouver que le rayon de convergence est exactement $\pi/2$.