1
En utilisant la relation : \(\tan' = 1 + \tan^2\), exprimer \(\tan^{(n)}\) en fonction de \(\tan,\dots,\tan{(n-1)}\). En déduire que : \(\forall\ x \in {[0,\pi/2[}\), \(\tan^{(n)}(x) \ge 0\).
2
Montrer que la série de Taylor de \(\tan\) en 0 converge sur \(]-\pi/2,\pi/2[\).
3
Soit \(f\) la somme de la série précédente. Montrer que \(f' = 1+f^2\) et en déduire que \(f = \tan\).
4
Prouver que le rayon de convergence est exactement \(\pi/2\).