On définit les nombres de Bernouilli comme les nombres complexes \(B_n\) tels que sur le domaine de convergence \[\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{B_n}{n!}z^n.\]
1
Montrer que le rayon de convergence de la série précédente est \(2\pi\).
2
A partir de la relation \(\frac{z}{e^z-1}\frac{e^z-1}{z}=1\) déterminer une relation de récurrence entre les \(B_n\).
3
Exprimer \(\frac{e^z-1}{z}\) en fonction de \(\frac{\sinh(z/2)}{\cosh(z/2)}\) et en déduire que pour \(n\) impair plus grand que \(3\), \(B_n=0\).
4
Calculer \(B_0, B_1\cdots B_8\).
5
Montrer que tous les \(B_n\) sont rationnels.
6
La suite des \(B_n\) est-elle bornée ?