L2 Analyse Série entière Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 6 questions

exo7 7568

On définit les nombres de Bernouilli comme les nombres complexes BnB_n tels que sur le domaine de convergence zez−1=∑n=0+∞Bnn!zn.\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{B_n}{n!}z^n.

1

Montrer que le rayon de convergence de la série précédente est 2π2\pi.

2

A partir de la relation zez−1ez−1z=1\frac{z}{e^z-1}\frac{e^z-1}{z}=1 déterminer une relation de récurrence entre les BnB_n.

3

Exprimer ez−1z\frac{e^z-1}{z} en fonction de sinh⁡(z/2)cosh⁡(z/2)\frac{\sinh(z/2)}{\cosh(z/2)} et en déduire que pour nn impair plus grand que 33, Bn=0B_n=0.

4

Calculer B0,B1⋯B8B_0, B_1\cdots B_8.

5

Montrer que tous les BnB_n sont rationnels.

6

La suite des BnB_n est-elle bornée ?

Exercice zQk4

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