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Soit $(a_n)$ une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que pour tout entier $n$ on ait $f^{(n)}(0) = n!\,a_n$.

Soit $\varphi : \R \to \R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ vérifiant : $\forall\ x\in{[-1,1]},\ \varphi(x)=1$ et $\forall\ x\notin{[-2,2]},\ \varphi(x)=0$ (l’existence de $\varphi$ fait l’objet de la question 2.). On pose $\varphi_n(x) = x^n\varphi(x)$, $M_n = \max(\|\varphi_n'\|_\infty,\dots,\|\varphi_n^{(n)}\|_\infty)$ et $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n\varphi(\lambda_nx)$ où $(\lambda_n)$ est une suite de réels strictement positifs, tendant vers $+\infty$ et telle que $\sum |a_n|M_n/\lambda_n$ converge.