Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que pour tout entier \(n\) on ait \(f^{(n)}(0) = n!\,a_n\).
Soit \(\varphi : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^\infty\) vérifiant : \(\forall\ x\in{[-1,1]},\ \varphi(x)=1\) et \(\forall\ x\notin{[-2,2]},\ \varphi(x)=0\) (l’existence de \(\varphi\) fait l’objet de la question 2.). On pose \(\varphi_n(x) = x^n\varphi(x)\), \(M_n = \max(\|\varphi_n'\|_\infty,\dots,\|\varphi_n^{(n)}\|_\infty)\) et \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n\varphi(\lambda_nx)\) où \((\lambda_n)\) est une suite de réels strictement positifs, tendant vers \(+\infty\) et telle que \(\sum |a_n|M_n/\lambda_n\) converge.
Montrer que \(f\) est bien définie, est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\R\) et vérifie \(f^{(n)}(0) = n!\,a_n\).
Construction de \(\varphi\) : à l’aide de fonctions du type \(x \mapsto\exp(-1/x)\) construire une fonction \(\psi\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \([0,+\infty[\) nulle sur \([0,1]\cup[2,+\infty[\) et strictement positive sur \(]1,2[\).
Vérifier alors que \(\varphi(x) = \int_{t=|x|}^{+\infty}\psi(t)\,d t\Bigm/ \int_{t=0}^{+\infty}\psi(t)\,d t\) convient.