Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple.
1
Les séries \(\sum a_nz^n\) et \(\sum (-1)^na_nz^n\) ont même rayon de convergence.
2
Les séries \(\sum a_nz^n\) et \(\sum (-1)^na_nz^n\) ont même domaine de convergence.
3
Si la série \(\sum a_nz^n\) a un rayon de convergence infini, alors elle converge uniformément sur \(\R\).
4
Si \(\sum a_nx^n\) a un rayon de convergence fini \(R > 0\), alors sa somme admet une limite infinie en \((-R)^+\) ou en \(R^-\).
5
Si \(f(x) = \sum a_nx^n\) a un rayon de convergence infini et si les \(a_n\) sont strictement positifs, alors pour tout entier \(p\), \(\frac{f(x)}{x^p} \to +\infty\) lorsque \(x\to+\infty\).