Notons $\omega= yz dx + zx dy + xy dz$ la forme différentielle associée à $\vec{F}(x,y,z)$ . Par définition de $W$ , on a $W= \int_H \vec{F}. \vec{dl}=\int_H \omega.$ D’après le paramétrage donné pour $H$ , on a $\begin{align*} W & = \int_0^{\frac{\pi}{4}} &yz dx + zx dy + xy dz \\ & = \int_0^{\frac{\pi}{4}}& ((\sin t )t (-\sin t)+t\cos^2 t + \cos t \sin t ) dt\\ & = \int_0^{\frac{\pi}{4}}&(t \cos(2t) +\cos t\sin t ) dt. \end{align*}$ On a utilisé ici la formule trigonométrique : $\cos(2t)=\cos^2 t-\sin^2 t.$ En faisant une intégration par parties, on constate que $\int_0^\frac{\pi}{4} t \cos(2t) dt =[ \frac{t \sin(2t)}{2}]_0^{\frac{\pi}{4}} - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin(2t)}{2} dt .$ On en déduit que $W= [ \frac{t \sin(2t)}{2}]_0^{\frac{\pi}{4}} + \frac{1}{4} [\cos (2t)]_0^{\frac{\pi}{4}} + \frac{1}{2} [\sin^2 (t) ]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}= \frac{\pi}{8}.$ Remarquons que $\omega= yz dx + zx dy + xy dz$ est exacte. De plus, on vérifie aisément que $\omega= d(xyz)$ . On peut alors retrouver le résultat précédent en faisant : $W= f(B)-f(A)$ où l’on a posé $f(x,y,z)=xyz$ , $B=(\cos( \frac{\pi}{4}) , \sin(\frac{\pi}{4}) , \frac{\pi}{4})= ( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} , \frac{\pi}{4})$ et $A=(\cos(0) , \sin(0) , 0)=(1, 0, 0).$

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