Notons \(\omega= yz dx + zx dy + xy dz\) la forme différentielle associée à \(\vec{F}(x,y,z)\). Par définition de \(W\), on a \(W= \int_H \vec{F}. \vec{dl}=\int_H \omega.\) D’après le paramétrage donné pour \(H\), on a \[\begin{align*} W & = \int_0^{\frac{\pi}{4}} &yz dx + zx dy + xy dz \\ & = \int_0^{\frac{\pi}{4}}& ((\sin t )t (-\sin t)+t\cos^2 t + \cos t \sin t ) dt\\ & = \int_0^{\frac{\pi}{4}}&(t \cos(2t) +\cos t\sin t ) dt. \end{align*}\] On a utilisé ici la formule trigonométrique : \(\cos(2t)=\cos^2 t-\sin^2 t.\) En faisant une intégration par parties, on constate que \[\int_0^\frac{\pi}{4} t \cos(2t) dt =[ \frac{t \sin(2t)}{2}]_0^{\frac{\pi}{4}} - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin(2t)}{2} dt .\] On en déduit que \[W= [ \frac{t \sin(2t)}{2}]_0^{\frac{\pi}{4}} + \frac{1}{4} [\cos (2t)]_0^{\frac{\pi}{4}} + \frac{1}{2} [\sin^2 (t) ]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}= \frac{\pi}{8}.\] Remarquons que \(\omega= yz dx + zx dy + xy dz\) est exacte. De plus, on vérifie aisément que \(\omega= d(xyz)\). On peut alors retrouver le résultat précédent en faisant : \[W= f(B)-f(A)\] où l’on a posé \(f(x,y,z)=xyz\), \[B=(\cos( \frac{\pi}{4}) , \sin(\frac{\pi}{4}) , \frac{\pi}{4})= ( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} , \frac{\pi}{4})\] et \[A=(\cos(0) , \sin(0) , 0)=(1, 0, 0).\]

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