$Id$ est solution.

Réciproquement, soit $f$ une bijection de $[0,1]$ sur lui-même vérifiant $\forall x\in[0,1],\;f(2x-f(x))=x$ . Nécessairement, $\forall x\in[0,1],\;0\leq 2x-f(x)\leq 1$ et donc $\forall x\in[0,1],\;2x-1\leq f(x)\leq 2x$ .

Soit $f^{-1}$ la réciproque de $f$ .

$\begin{align*}\ensuremath \forall x\in[0,1],\;f(2x-f(x))=x&\Leftrightarrow\forall x\in[0,1],\;2x-f(x)=f^{-1}(x)\\ &\Leftrightarrow\forall y\in[0,1],\;f(f(y))-2f(y)+y=0\;(\mbox{car}\;\forall x\in[0,1],\;\exists!y\;[0,1]/\;x=f(y)) \end{align*}$

Soit $y\in[0,1]$ et $u_0=y$ . En posant $\forall n\in\Nn,\;u_{n+1}=f(u_n)$ , on définit une suite de réels de $[0,1]$ (car $[0,1]$ est stable par $f$ ). La condition $\forall y\in[0,1],\;f(f(y))-2f(y)+ y=0$ fournit $\forall n\in\Nn, \;u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n=0$ , ou encore $\forall n\in\Nn,\;u_{n+2}-u_{n+1}=u_{n+1}-u_n$ . La suite $(u_{n+1}-u_n)_{n\in\Nn}$ est constante ou encore $u$ est arithmétique. Mais, $u$ est également bornée et donc $u$ est constante.

En particulier, $u_1=u_0$ ce qui fournit $f(y)=y$ . On a montré que $\forall y\in[0,1],\;f(y)=y$ et donc $f=Id$ .

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