L2 Algèbre Déterminant, système linéaire Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSI 3 questions

Résolution de système linéaire à paramètre, homogène et non homogène

On considère les systèmes suivants : (Sm){(m−1)x+(1−m)y+(m2−1)z=0my+z=0(1−m)x−y−z=0\left(\mathcal{S}_m\right)\left\{\begin{aligned} (m-1) x&+(1-m) y & +\left(m^2-1\right) z & =0 \\ &m y & +z & =0 \\ (1-m) x&-y & -z & =0 \end{aligned}\right. et : (Sm′){(m−1)x+(1−m)y+(m2−1)z=1my+z=1(1−m)x−my−z=−2\left(\mathcal{S}_m^{\prime}\right)\left\{\begin{aligned} (m-1) x&+(1-m) y+&\left(m^2-1\right) z & =1 \\ &my & +z & =1 \\ (1-m)x &-my & -z & =-2 \end{aligned}\right. où m∈Rm \in \mathbb{R} est un paramètre réel.

1

Déterminer, suivant la valeur de mm, le déterminant de la matrice : Am=(m−11−mm2−10m11−m−1−1).A_m=\left(\begin{array}{ccc} m-1 & 1-m & m^2-1 \\ 0 & m & 1 \\ 1-m & -1 & -1 \end{array}\right) .

2

En déduire les valeurs du paramètre mm pour lesquelles le système (Sm)\left(\mathcal{S}_m\right) admet des solutions non nulles et, dans ces cas, résoudre le système.

3

Trouver les solutions du système (Sm′)\left(\mathcal{S}_m^{\prime}\right) pour m=2m=2 et m=−1m=-1.

Exercice 2sPY

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