Démontrer que chaque homographie non-triviale \(g\in M^+(2)\setminus\{{\rm id}\}\) possède soit un point fixe soit deux. Un élément \(g\in M^+(2)\) est dit parabolique si son ensemble des points fixes : \({\rm fix}(g)=\{x\in\overline{\C}\ \vert\ f(x)=x\}\) est un singleton. Montrer qu’un élément est parabolique ssi il est conjugué dans \(M^+(2)\) à la translation \(z\mapsto z+1\).
Un élément \(f\in M^+(2)\) est dit elliptique s’il est conjugué dans \(M^+(2)\) à une rotation \(z\mapsto k\cdot z\) où \(\vert k\vert = 1\) , \(k\in\C\setminus \{1\}\). Un élément \(g\in M^+(2)\) est dit loxodromique s’il est conjugué dans \(M^+(2)\) à \(z\mapsto k\cdot z\) où \(\vert k\vert\not=1\). De plus, un élément loxodromique est dit hyperbolique si \(k\in\R^*_+\setminus\{1\}\) ; un élément loxodromique est dit srtictement loxodromique si \(k=\lambda\cdot e^{i\theta},\ \lambda > 0\ ,\ \theta\not=2\pi m\). Pour un élément \(g\in M^+(2)\) on utilise la même lettre pour une de deux matrices dans \(SL_2\C\) qui le représentent (en fait c’est \(g\) ou \(-g\)). Montrer que pour tout élément \(g\in M^+(2)\) l’une des possibilités suivantes peut avoir lieu :
\(g\) est parabolique ssi \({\rm tr}^2(g)=4\), où \(tr^2\) est la trace carré de la matrice \(g\).
\(g\) est elliptique ssi \({\rm tr}^2(g)\in [0,4[.\)
\(g\) est hyperbolique ssi \({\rm tr}^2(g)\in ]4, \infty[.\)
\(g\) est strictement loxodromique ssi \({\rm tr}^2(g)\not\in[0,\infty[\).