On notera \(\mathbb{H}^2\) le plan de Poincaré dans l’un de deux modèles du disque ou du demi-plan, muni de la distance hyperbolique \(\rho\).
1
Montrer que \(\mathbb{H}^2\) est un espace métrique complet mais pas compact.
2
Dans le modèle du demi-plan on suppose que \(z, w\) sont deux points distincts dans \(\mathbb{H}^2\), montrer que \(\rho(z,w)=\vert\ln([z^*, z, w, w^*])\vert\), où \([z^*, z, w, w^*]\) désigne le birapport de quatre points, où \(z^*, w^*\) sont les extrémités de la géodésique passant par \(z\) et \(w\) dans l’ordre indiqué sur le Figure [fig:pot1] :