Soit \(g\in M\) une homographie. Montrer que
1
Si \(g\) est parabolique \({\rm fix}(g)=\{x\}\) alors \[\displaystyle\forall z\ \in \overline{\Cc}\ :\ \lim_{n\to \pm\infty} g^n(z)=x.\]
2
Si \(g\) est loxodromique et \({\rm fix}(g)=\{x, y\}\) alors \[\displaystyle\forall z\ \in \overline{\Cc}\setminus\{y\}\ :\ \lim_{n\to +\infty} g^n(z)=x,\] et le point \(x\) est dit point fixe attractif de \(g.\)
\[\displaystyle\forall z\ \in \overline{\Cc}\setminus\{x\}\ :\ \lim_{n\to +\infty} g^{-n}(z)=y,\] et le point \(y\) est dit point fixe répulsif de \(g.\)