L3 Algèbre et théorie des nombres Forme bilinéaire 5 questions

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On considère la forme symplectique sur R2n\Rr^{2n} donnée par f((xy),(x′y′))=xt y′−yt x′f\left(\left({x\atop y}\right),\left({x'\atop y'}\right)\right) =x^t\ y'-y^t\ x' où x,y,x′,y′x,y,x',y' sont dans Rn\Rr^n.

1

En décomposant par bloc n×nn\times n une matrique quelconque gg de M2n(R)M_{2n}(\Rr) sous la forme (ABCD)\left({AB\atop CD}\right), caractériser les matrices symplectiques en termes de systèmes d’équation pour A,B,C,DA,B,C,D.

2

Déterminer toutes les matrices symplectiques vérifiant de plus B=C=0B=C=0.

3

Déterminer toutes les matrices symplectiques vérifiant A=D=InA=D=I_n et C=0C=0.

4

Déterminer toutes les matrices symplectiques vérifiant C=0C=0.

5

Déterminer toutes les matrices QQ de Mn(R)M_{n}(\Rr) telles que l’espace WQ:={(Qyy)/y∈Rn}W_Q:=\left\{ \left({Qy\atop y}\right)/ y\in \Rr^n\right\} soit totalement isotrope. Quel est le lien avec les questions précédentes ?

Exercice 3o20

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