exo7 3685

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, et $(\vec x_1,\dots,\vec x_n)$ une famille libre. Démontrer qu’il existe une famille $(\vec u_1,\dots,\vec u_n)$ vérifiant :

$$\begin{cases} \vec u_i \text{ est unitaire} \cr \|\vec u_i-\vec u_j\| = 1 \cr \text{vect}(\vec u_1,\dots,\vec u_i) = \text{vect}(\vec x_1,\dots,\vec x_i).\cr\end{cases}$$

Démontrer que toute famille $(\vec u_1,\dots,\vec u_n)$ vérifiant les deux premières propriétés est libre.