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Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien, et \((\vec x_1,\dots,\vec x_n)\) une famille libre. Démontrer qu’il existe une famille \((\vec u_1,\dots,\vec u_n)\) vérifiant :
\[\begin{cases} \vec u_i \text{ est unitaire} \cr \|\vec u_i-\vec u_j\| = 1 \cr \text{vect}(\vec u_1,\dots,\vec u_i) = \text{vect}(\vec x_1,\dots,\vec x_i).\cr\end{cases}\]
Démontrer que toute famille \((\vec u_1,\dots,\vec u_n)\) vérifiant les deux premières propriétés est libre.