On appelle ordre d’un élément d’un groupe fini \((G,\ast)\) l’ordre du sous-groupe engendré dans \(G\) par cet élément.
Montrer que si \(x\) est d’ordre \(p\), \(p\) est le plus petit entier tel que \(x^p=e\).
Déterminer les ordres des éléments des groupes rencontrés au I.
Soit \((G,\ast)\) un groupe fini, \(a\) un élément de \(G\), \(H\) un sous-groupe d’ordre \(p\) de \(G\) ; on note \(aH\) l’ensemble \(\{a\ast y\mid y\in H\}\). a) Montrer que pour tout \(a\in G\), \(aH\) a \(p\) éléments. b) Montrer que si \(a\in G\) et \(b \in G\), \((aH=bH)\) ou \((aH\cap bH=\emptyset)\). c) En déduire que l’ordre de \(H\) divise l’ordre de \(G\).
Montrer que si \(G\) est un groupe fini d’ordre \(n\), les ordres de tous ses éléments divisent \(n\).
Trouver des sous-groupes de \(\mathbb{Z}_2\), \(\mathbb{Z}_3\), \(\mathbb{Z}_4\), \(\mathbb{Z}_5\), \(\mathbb{Z}_6\), \(\frak{S}_2\), \(\frak{S}_3\).
Si \(G\) est un groupe d’ordre \(5\), que peut-on dire de l’ordre de ses éléments ? En déduire les tables de composition possibles pour un groupe d’ordre \(5\). Que peut-on dire de deux groupes quelconques d’ordre \(5\) ? Mêmes questions pour les groupes d’ordre \(23\). Généraliser.