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Montrer que si $x$ est d’ordre $p$, $p$ est le plus petit entier tel que $x^p=e$.

Déterminer les ordres des éléments des groupes rencontrés au I.

Soit $(G,\ast)$ un groupe fini, $a$ un élément de $G$, $H$ un sous-groupe d’ordre $p$ de $G$ ; on note $aH$ l’ensemble $\{a\ast y\mid y\in H\}$. a) Montrer que pour tout $a\in G$, $aH$ a $p$ éléments. b) Montrer que si $a\in G$ et $b \in G$, $(aH=bH)$ ou $(aH\cap bH=\emptyset)$. c) En déduire que l’ordre de $H$ divise l’ordre de $G$.

Montrer que si $G$ est un groupe fini d’ordre $n$, les ordres de tous ses éléments divisent $n$.

Trouver des sous-groupes de $\mathbb{Z}_2$, $\mathbb{Z}_3$, $\mathbb{Z}_4$, $\mathbb{Z}_5$, $\mathbb{Z}_6$, $\frak{S}_2$, $\frak{S}_3$.

Si $G$ est un groupe d’ordre $5$, que peut-on dire de l’ordre de ses éléments ? En déduire les tables de composition possibles pour un groupe d’ordre $5$. Que peut-on dire de deux groupes quelconques d’ordre $5$ ? Mêmes questions pour les groupes d’ordre $23$. Généraliser.