exo7 6475

Soit les applications $T:\R \cup\{ \infty \} \to \R \cup\{ \infty \} ,\; T(x)=x+4,\; T(\infty )=\infty$, et $g:\R \cup\{ \infty \} \to \R \cup\{ \infty \}$, $$g(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{x}{1-2x} & \mbox{ si } & x\in \R\setminus \{ \frac{1}{2}\} \; ; \\ \infty & \mbox{ si } & x= \frac{1}{2} \; ;\\ -\frac{1}{2} & \mbox{ si } & x= \infty \; \end{array}\right.$$

Montrer que $T^k([-2,2])\subset ]-\infty ,\, -2]\cup [2,\, \infty [,\; \forall k\in \Z^*$ et que $g^m(]-\infty ,\, -1]\cup [1,\, \infty [)\subset [-1,\, 1],\; \forall m\in \Z^*$.

Soit $G$ le groupe des applications bijectives $h:\R\cup \{ \infty \} \to \R\cup \{ \infty \}$, muni de l’opération de composition. Montrer que $G$ a une action naturelle sur $\R \cup\{ \infty \}$.

Montrer que le sous-groupe $\Gamma$ de $G$ engendré par $T$ et $g$ est un groupe libre. Indication : Regarder les orbites des nombres dans l’intervalle $]1,2[$.