Soit les applications \(T:\R \cup\{ \infty \} \to \R \cup\{ \infty \} ,\; T(x)=x+4,\; T(\infty )=\infty\), et \(g:\R \cup\{ \infty \} \to \R \cup\{ \infty \}\), \[g(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{x}{1-2x} & \mbox{ si } & x\in \R\setminus \{ \frac{1}{2}\} \; ; \\ \infty & \mbox{ si } & x= \frac{1}{2} \; ;\\ -\frac{1}{2} & \mbox{ si } & x= \infty \; \end{array}\right.\]
Montrer que \(T^k([-2,2])\subset ]-\infty ,\, -2]\cup [2,\, \infty [,\; \forall k\in \Z^*\) et que \(g^m(]-\infty ,\, -1]\cup [1,\, \infty [)\subset [-1,\, 1],\; \forall m\in \Z^*\).
Soit \(G\) le groupe des applications bijectives \(h:\R\cup \{ \infty \} \to \R\cup \{ \infty \}\), muni de l’opération de composition. Montrer que \(G\) a une action naturelle sur \(\R \cup\{ \infty \}\).
Montrer que le sous-groupe \(\Gamma\) de \(G\) engendré par \(T\) et \(g\) est un groupe libre. Indication : Regarder les orbites des nombres dans l’intervalle \(]1,2[\).