Soit \(\Phi \in \mathcal{L} { K[X]}\) commutant avec la dérivation, c’est à dire : \(\forall\ P \in { K[X]}\), on a \(\Phi(P') = \Phi(P)'\).
1
Démontrer qu’il existe un unique suite \((a_k)_{k \in \N}\) de scalaires tels que : \[\forall\ P \in { K_n[X]}, \text{ on a } \Phi(P) = \sum_{k=0}^n a_kP^{(k)}.\] (On écrit formellement : \(\Phi = \sum_{k=0}^\infty a_k \text{D}^k\) avec \(\text{D}(P) = P'\))
2
Décomposer ainsi l’endomorphisme \(\Phi : P \mapsto P(X+1)\).