Soient \(a,b,c\) des réels vérifiant \(a^2+b^2+c^2=1\) et \(P\) la matrice réelle \(3\times3\) suivante : \[P=\begin{pmatrix}a^2&ab&ac \\ ab&b^2&bc \\ ac&bc&c^2\end{pmatrix}\]
1
Calculer le déterminant de \(P\).
2
Déterminer les sous-espaces vectoriels de \(\R^3\), \(\ker P\) et \(\Im P\).
3
Soit \(Q=I-P\), calculer \(P^2\), \(PQ\), \(QP\) et \(Q^2\).
4
Caractériser géométriquement \(P\) et \(Q\).