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Soit $u$ l’endomorphisme de $\Rr^3$ dont la matrice dans la base canonique $(i,j,k)$ de $\Rr^3$ est :

$M=\left( \begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&-3&3 \end{array} \right) .$

Montrer que $u$ est un automorphisme de $\Rr^3$ et déterminer $u^{-1}$ .

Déterminer une base $(e_1,e_2,e_3)$ de $\Rr^3$ telle que $u(e_1)=e_1$ , $u(e_2)=e_1+e_2$ et $u(e_3)=e_2+e_3$ .

Déterminer $P$ la matrice de passage de $(i,j,k)$ à $(e_1,e_2,e_3)$ ainsi que $P^{-1}$ .

En déduire $u^n(i)$ , $u^n(j)$ et $u^n(k)$ pour $n$ entier relatif.

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