Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique \((i,j,k)\) de \(\Rr^3\) est :
\[M=\left( \begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&-3&3 \end{array} \right) .\]
1
Montrer que \(u\) est un automorphisme de \(\Rr^3\) et déterminer \(u^{-1}\).
2
Déterminer une base \((e_1,e_2,e_3)\) de \(\Rr^3\) telle que \(u(e_1)=e_1\), \(u(e_2)=e_1+e_2\) et \(u(e_3)=e_2+e_3\).
3
Déterminer \(P\) la matrice de passage de \((i,j,k)\) à \((e_1,e_2,e_3)\) ainsi que \(P^{-1}\).
4
En déduire \(u^n(i)\), \(u^n(j)\) et \(u^n(k)\) pour \(n\) entier relatif.