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Soit $g\in \operatorname{Isom}(\mathcal C)$ une isométrie du carré, c’est-à-dire une isométrie du plan préservant le carré. Montrer qu’elle permute les sommets, puis que c’est une rotation de centre $O$ ou bien une réflexion d’axe contenant $O$.

Déterminer entièrement le groupe $G=\operatorname{Isom}(\mathcal C)$.

Décrire le groupe $H=\operatorname{Isom}^+(\mathcal C)$ des isométries directes du carré et écrire un isomorphisme entre ce groupe et $\Z/4\Z$.