Soit \(\mathcal C=ABCD\) un carré plein du plan (c’est-à-dire l’enveloppe convexe de ses sommets) et \(O\) son centre.
1
Soit \(g\in \operatorname{Isom}(\mathcal C)\) une isométrie du carré, c’est-à-dire une isométrie du plan préservant le carré. Montrer qu’elle permute les sommets, puis que c’est une rotation de centre \(O\) ou bien une réflexion d’axe contenant \(O\).
2
Déterminer entièrement le groupe \(G=\operatorname{Isom}(\mathcal C)\).
3
Décrire le groupe \(H=\operatorname{Isom}^+(\mathcal C)\) des isométries directes du carré et écrire un isomorphisme entre ce groupe et \(\Z/4\Z\).