Soit \(ABC\) un triangle dans un plan euclidien orienté \(E\). On notera \(a=BC, b=CA\) et \(c=AB\) et \(\hat{A}=\widehat{(BAC)}\). Notons \(p\) la moitié de son périmètre.
1
Montrer que \[\begin{aligned} 2p(p-a)=bc+\vec{AB}\cdot\vec{AC}\\ 2(p-b)(p-c)=bc-\vec{AB}\cdot\vec{AC} \end{aligned}\]
2
En déduire que l’aire du triangle \(ABC\) est \(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).