L2 Géométrie Géométrie affine euclidienne Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 2 questions

exo7 7266

Soit ABCABC un triangle dans un plan euclidien orienté EE. On notera a=BC,b=CAa=BC, b=CA et c=ABc=AB et A^=(BAC)^\hat{A}=\widehat{(BAC)}. Notons pp la moitié de son périmètre.

1

Montrer que 2p(p−a)=bc+AB⃗⋅AC⃗2(p−b)(p−c)=bc−AB⃗⋅AC⃗\begin{aligned} 2p(p-a)=bc+\vec{AB}\cdot\vec{AC}\\ 2(p-b)(p-c)=bc-\vec{AB}\cdot\vec{AC} \end{aligned}

2

En déduire que l’aire du triangle ABCABC est p(p−a)(p−b)(p−c)\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.

Exercice BB1Z

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