Soient \(B'\), \(C'\) les projetés orthogonaux de \(C\), \(D\) sur \((AB)\). Le triangle \(ABC\) a pour aire \(\frac12 AB \cdot CC'\). Le triangle \(ABD\) a pour aire \(\frac12 AB \cdot DD'\). Comme ces triangles ont la même aire alors \(CC'=DD'\).
Notons \(I\) le milieu de \([C,D]\) et \(I'\) son projeté orthogonal sur \((AB)\). Par définition la droite \((II')\) est perpendiculaire à \((AB)\). Montrons qu’elle est aussi perpendiculaire à \((CD)\). Par Pythagore dans \(I'CC'\) : \(I'C^2 = I'C'^2 + CC'^2\). Par Pythagore dans \(IDD'\) : \(I'D^2 = I'D'^2 + DD'^2\). Comme \(I\) est le milieu de \([C,D]\), alors par projection orthogonale, \(I'\) est le milieu de \([C',D']\), donc \(I'C'=I'D'\). D’autre part \(CC'=DD'\) et ainsi \(I'C=I'D\). Le triangle \(I'CD\) étant isocèle en \(I'\), alors \((II')\) est perpendiculaire à \((CD)\).

Bilan : on a montré que la perpendiculaire commune à \((AB)\) et \((CD)\) est \((II')\) et passe donc par le milieu de \([C,D]\).
On refait le même raisonnement en projetant cette fois sur \((CD)\), pour trouver que la perpendiculaire commune à \((AB)\) et \((CD)\) passe par le milieu \(J\) de \([A,B]\). Comme la perpendiculaire commune est unique et coupe \((AB)\) et \(I'\) et en \(J\) alors \(I'=J\). Bilan : la perpendiculaire commune à \((AB)\) et \((CD)\) est la droite \((IJ)\) où \(I\) est le milieu de \([C,D]\) et \(J\) le milieu de \([A,B]\).
On considère le retournement d’axe \((IJ)\) (rotation d’angle \(\pi\)). Alors \(A\) s’envoie sur \(B\), \(C\) s’envoie sur \(D\). Le segment \([A,C]\) s’envoie sur \([B,D]\). Un retournement préserve les longueurs, donc \(AC = BD\).

Conclusion : les deux côtés opposés \(AC\) et \(BD\) ont même longueur.

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