On rappelle que l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\lambda\), pour \(O\) un point du plan \(\mathcal{P}\) et \(\lambda \in \Rr \smallsetminus \{0\}\), est l’application de \(\mathcal{P}\) dans lui-même qui à un point \(P \in \mathcal{P}\) associe l’unique point \(Q\) vérifiant \(\overrightarrow{OQ} = \lambda \overrightarrow{OP}\).
Dans cet exercice, on considère une homothétie \(h\) de centre \(O\) et de rapport \(\lambda\).
Montrer que si \(\lambda \neq 1\), alors \(O\) est l’unique point du plan dont l’image par \(h\) est lui-même.
La propriété précédente est-elle vraie si \(\lambda = 1\)? (Rappel: votre réponse doit être accompagnée d’une démonstration.)
Si \(P\) est un point du plan autre que \(O\), montrer que \(h(P)\) est un point de la droite \((OP)\) (indication : on pourra considérer les vecteurs \(\overrightarrow{OP}\) et \(\overrightarrow{O \; h(P)}\)).
En déduire que si \(\mathcal{D}\) est une droite passant par le point \(O\), alors \(h(\mathcal{D}) \subseteq \mathcal{D}\). (Rappel: on note \(h(\mathcal{D})\) l’ensemble des points \(h(P)\) pour \(P \in \mathcal{D}\).)
En considérant l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\frac{1}{\lambda}\), en déduire que \(h(\mathcal{D}) = \mathcal{D}\) (avec les mêmes notations qu’à la question précédente).
Soint \(\Delta\) une droite. On admet dans cet exercice que \(h(\Delta)\) est aussi une droite. Montrer que si \(\Delta\) et \(h(\Delta)\) ont un point commun et si \(\lambda \neq 1\) alors ce point commun est \(O\).
En déduire que si \(\Delta\) est une droite ne passant pas par \(O\) et si \(\lambda \neq 1\) alors les droites \(\Delta\) et \(h(\Delta)\) sont parallèles et sont deux droites distinctes.
Montrer que l’image d’une droite par une homothétie est une droite parallèle. (Attention, dans cette question, il n’y a plus d’hypothèse particulière sur la droite considérée, ni sur le rapport de l’homothétie.)