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Montrer que si $\lambda \neq 1$, alors $O$ est l’unique point du plan dont l’image par $h$ est lui-même.

La propriété précédente est-elle vraie si $\lambda = 1$? (Rappel: votre réponse doit être accompagnée d’une démonstration.)

Si $P$ est un point du plan autre que $O$, montrer que $h(P)$ est un point de la droite $(OP)$ (indication : on pourra considérer les vecteurs $\overrightarrow{OP}$ et $\overrightarrow{O \; h(P)}$).

En déduire que si $\mathcal{D}$ est une droite passant par le point $O$, alors $h(\mathcal{D}) \subseteq \mathcal{D}$. (Rappel: on note $h(\mathcal{D})$ l’ensemble des points $h(P)$ pour $P \in \mathcal{D}$.)

En considérant l’homothétie de centre $O$ et de rapport $\frac{1}{\lambda}$, en déduire que $h(\mathcal{D}) = \mathcal{D}$ (avec les mêmes notations qu’à la question précédente).

Soint $\Delta$ une droite. On admet dans cet exercice que $h(\Delta)$ est aussi une droite. Montrer que si $\Delta$ et $h(\Delta)$ ont un point commun et si $\lambda \neq 1$ alors ce point commun est $O$.

En déduire que si $\Delta$ est une droite ne passant pas par $O$ et si $\lambda \neq 1$ alors les droites $\Delta$ et $h(\Delta)$ sont parallèles et sont deux droites distinctes.

Montrer que l’image d’une droite par une homothétie est une droite parallèle. (Attention, dans cette question, il n’y a plus d’hypothèse particulière sur la droite considérée, ni sur le rapport de l’homothétie.)