Nous savons que la distance d’un point \(M_0(x_0,y_0)\) à une droite \(D\) d’équation \(ax+by+c=0\) est donnée par la formule \(d(M_0,D) = \frac{|ax_0+by_0+c_0|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

Pour une droite \(D_\lambda\) la formule donne : \(d(M_0,D_\lambda) = \frac{|(1-\lambda^2)x_0 + 2\lambda y_0 - (4\lambda + 2)|}{\sqrt{(1-\lambda^2)^2+4\lambda^2}}\).

Analyse.

On cherche un point \(M_0=(x_0,y_0)\) tel que pour tout \(\lambda\), \(d(M_0,D_\lambda)=k\) où \(k\in \Rr\) est une constante.

L’égalité \(d(M_0,D_\lambda)^2=k^2\) conduit à \[\Big((1-\lambda^2)x_0 + 2\lambda y_0 - (4\lambda + 2)\Big)^2 = k^2 \Big( (1-\lambda^2)^2+4\lambda^2 \Big)\] pour tout \(\lambda\in \Rr\). Nos inconnues sont \(x_0,y_0,k\). On regarde l’égalité comme une égalité de deux polynômes en la variable \(\lambda\).

Pour ne pas avoir à tout développer on raffine un peu : on identifie les termes de plus haut degré en \(\lambda^4\) : \(x_0^2 \lambda^4=k^2\lambda^4\) donc \(x_0^2=k^2\).

En évaluant l’égalité pour \(\lambda=0\) cela donne \((x_0-2)^2=k^2\). On en déduit \((x_0-2)^2=x_0^2\) dont la seule solution est \(x_0=1\). Ainsi \(k=1\) (car \(k>0\)).

L’égalité pour \(\lambda=+1\) donne \((2y_0-6)^2=4k^2\) et pour \(\lambda=-1\) donne \((-2y_0+2)^2=4k^2\). La seule solution est \(y_0=2\).

Synthèse. Vérifions que le point de coordonnées \(M_0=(1,2)\) est situé à une distance \(k=1\) de toutes les droites \(D_\lambda\).

Pour \((x_0,y_0)=(1,2)\), on trouve : \(d(M_0,D_\lambda) = \frac{|(1-\lambda^2) + 4\lambda - (4\lambda + 2)|}{\sqrt{(1-\lambda^2)^2+4\lambda^2}} = \frac{|\lambda^2+1|}{\sqrt{(\lambda^2+1)^2}} = \frac{|\lambda^2+1|}{|\lambda^2+1|}=1\). Donc \(M_0=(1,2)\) est bien équidistant de toutes les droites \(D_\lambda\).

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