Nous savons que la distance d’un point $M_0(x_0,y_0)$ à une droite $D$ d’équation $ax+by+c=0$ est donnée par la formule $d(M_0,D) = \frac{|ax_0+by_0+c_0|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

Pour une droite $D_\lambda$ la formule donne : $d(M_0,D_\lambda) = \frac{|(1-\lambda^2)x_0 + 2\lambda y_0 - (4\lambda + 2)|}{\sqrt{(1-\lambda^2)^2+4\lambda^2}}$ .

Analyse.

On cherche un point $M_0=(x_0,y_0)$ tel que pour tout $\lambda$ , $d(M_0,D_\lambda)=k$ où $k\in \Rr$ est une constante.

L’égalité $d(M_0,D_\lambda)^2=k^2$ conduit à $\Big((1-\lambda^2)x_0 + 2\lambda y_0 - (4\lambda + 2)\Big)^2 = k^2 \Big( (1-\lambda^2)^2+4\lambda^2 \Big)$ pour tout $\lambda\in \Rr$ . Nos inconnues sont $x_0,y_0,k$ . On regarde l’égalité comme une égalité de deux polynômes en la variable $\lambda$ .

Pour ne pas avoir à tout développer on raffine un peu : on identifie les termes de plus haut degré en $\lambda^4$ : $x_0^2 \lambda^4=k^2\lambda^4$ donc $x_0^2=k^2$ .

En évaluant l’égalité pour $\lambda=0$ cela donne $(x_0-2)^2=k^2$ . On en déduit $(x_0-2)^2=x_0^2$ dont la seule solution est $x_0=1$ . Ainsi $k=1$ (car $k>0$ ).

L’égalité pour $\lambda=+1$ donne $(2y_0-6)^2=4k^2$ et pour $\lambda=-1$ donne $(-2y_0+2)^2=4k^2$ . La seule solution est $y_0=2$ .

Synthèse. Vérifions que le point de coordonnées $M_0=(1,2)$ est situé à une distance $k=1$ de toutes les droites $D_\lambda$ .

Pour $(x_0,y_0)=(1,2)$ , on trouve : $d(M_0,D_\lambda) = \frac{|(1-\lambda^2) + 4\lambda - (4\lambda + 2)|}{\sqrt{(1-\lambda^2)^2+4\lambda^2}} = \frac{|\lambda^2+1|}{\sqrt{(\lambda^2+1)^2}} = \frac{|\lambda^2+1|}{|\lambda^2+1|}=1$ . Donc $M_0=(1,2)$ est bien équidistant de toutes les droites $D_\lambda$ .

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