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La question de trouver le centre d’un cercle à la règle et au compas a été étudiée à l’exercice [centre-regle-compas]. On étudie maintenant une construction au compas seul.

Soit $\mathcal{C}$ un cercle (dont on ne connaît pas le centre). Soit $A$ un point de $\mathcal{C}$ , et soit $\mathcal{C}'$ un cercle de centre $A$ , qui coupe $\mathcal{C}$ en deux points $B$ et $B'$ . Les cercles de centres $B$ et $B'$ passant par $A$ se coupent en un autre point $D$ . Notons $\mathcal{C}''$ le cercle de centre $D$ passant par $A$ , et notons $F$ et $F'$ les points d’intersection de $\mathcal{C}'$ et $\mathcal{C}''$ . Finalement, notons $\Omega$ l’autre point d’intersection des cercles de centres $F$ et $F'$ passant par $A$ .

Notons $O$ le centre du cercle $\mathcal{C}$ , $r$ son rayon, $a$ le rayon du cercle $\mathcal{C}'$ . Montrer que l’on a $\vec{OA} \cdot \vec{OD} = r^2 - a^2$ . (Indication: considérer la puissance du point $O$ par rapport au cercle de centre $B$ passant par $A$ .)

En déduire que $\vec{DA} = \frac{a^2}{r^2} \vec{OA}$ et $DA = \frac{a^2}{r}$ .

En considérant la puissance de $D$ par rapport au cercle de centre $F$ passant par $A$ , montrer de même que $\vec{ \Omega A} = \frac{a^2}{DA^2} \vec{DA}$ .

En déduire que $\Omega = O$ .

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