La question de trouver le centre d’un cercle à la règle et au compas a été étudiée à l’exercice [centre-regle-compas]. On étudie maintenant une construction au compas seul.
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle (dont on ne connaît pas le centre). Soit \(A\) un point de \(\mathcal{C}\), et soit \(\mathcal{C}'\) un cercle de centre \(A\), qui coupe \(\mathcal{C}\) en deux points \(B\) et \(B'\). Les cercles de centres \(B\) et \(B'\) passant par \(A\) se coupent en un autre point \(D\). Notons \(\mathcal{C}''\) le cercle de centre \(D\) passant par \(A\), et notons \(F\) et \(F'\) les points d’intersection de \(\mathcal{C}'\) et \(\mathcal{C}''\). Finalement, notons \(\Omega\) l’autre point d’intersection des cercles de centres \(F\) et \(F'\) passant par \(A\).
Notons \(O\) le centre du cercle \(\mathcal{C}\), \(r\) son rayon, \(a\) le rayon du cercle \(\mathcal{C}'\). Montrer que l’on a \(\vec{OA} \cdot \vec{OD} = r^2 - a^2\). (Indication: considérer la puissance du point \(O\) par rapport au cercle de centre \(B\) passant par \(A\).)
En déduire que \(\vec{DA} = \frac{a^2}{r^2} \vec{OA}\) et \(DA = \frac{a^2}{r}\).
En considérant la puissance de \(D\) par rapport au cercle de centre \(F\) passant par \(A\), montrer de même que \(\vec{ \Omega A} = \frac{a^2}{DA^2} \vec{DA}\).
En déduire que \(\Omega = O\).