Soit \(A\) un anneau commutatif, et \(a \in A\). On dit que \(a\) est nilpotent s’il existe \(n \in \N\) tel que \(a^n = 0\).
1
Exemple : Déterminer les éléments nilpotents de \(\Z/36\Z\).
2
Montrer que l’ensemble des éléments nilpotents est un idéal de \(A\).
3
Soit \(a\) nilpotent. Montrer que \(1 - a\) est inversible (remarquer que \(1 = 1^n - a^n\)).
4
Soient \(a\) nilpotent et \(b\) inversible. Montrer que \(a + b\) est inversible.