Soit \(P = a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n \in \Z[X]\). On veut déterminer si \(P\) a des racines rationnelles.
1
On suppose que \(P\) a une racine rationnelle non nulle \(x\), avec \(x = \frac{p}{q}\) et \(\pgcd(p,q) = 1\). Montrer que \(p\) divise \(a_0\) et \(q\) divise \(a_n\).
2
Le polynôme \(7X^3 - 5X^2 -9X +4\) a-t-il des racines rationnelles ? et \(X^4 - 2X^2 - 3\) ?
3
Soit \(n \in \N^*\). Montrer que \(\sqrt{n}\) est soit un entier, soit un irrationnel.