Première solution. Chaque \(P_k\), \(0\leqslant k\leqslant n\), est de degré \(k+n-k=n\) et est donc dans \(\Rr_n[X]\).

Les polynômes \(P_k\), \(0\leqslant k\leqslant n\) ont des valuations deux à deux distinctes et donc constituent une famille libre. Comme de plus \(\text{card}(P_k)_{0\leqslant k\leqslant n}=n+1=\text{dim}(E)<+\infty\), la famille \((P_k)_{0\leqslant k\leqslant n}\) est une base de \(E\).

Deuxième solution. La matrice carrée \(M\) de la famille \((P_k)_{0\leqslant k\leqslant n}\) dans la base canonique de \(\Rr_n[X]\) est triangulaire inférieure. Ses coefficients diagonaux sont tous non nuls car égaux à \(1\). \(M\) est donc inversible et \((P_k)_{0\leqslant k\leqslant n}\) est une base de \(E\).

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