Soit \(E\) un \({ \Cc}\)-espace vectoriel et \(S_{1}=(e_{1},e_{2},...,e_{n})\) un système libre dans \(E\), \(n\ge 2\).
1
On considère le système \(S_{2}=(e_{1}',e_{2}',...,e_{n}')\) défini par : \(e_{j}'=\sum_{k=1}^{j}e_{k}, 1\le j \le n\). \(S_{2}\) est-il libre ?
2
On considère le système \(S_{3} = (\epsilon_{1},\epsilon_{2},...,\epsilon_{n})\) défini par : \(\epsilon_{j}=e_{j}+e_{j+1}, 1\le j \le n-1\) et \(\epsilon_{n}=e_{n}+e_{1}\). Montrer les résultats suivants :
3
\(S_{3}\) libre \(\Rightarrow\) \(S_{1}\) libre.
4
\(n\) impair : \(S_{3}\) libre \(\Leftrightarrow\) \(S_{1}\) libre.
5
\(n\) pair : \(S_{3}\) lié.