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On considère le système $S_{2}=(e_{1}',e_{2}',...,e_{n}')$ défini par : $e_{j}'=\sum_{k=1}^{j}e_{k}, 1\le j \le n$. $S_{2}$ est-il libre ?

On considère le système $S_{3} = (\epsilon_{1},\epsilon_{2},...,\epsilon_{n})$ défini par : $\epsilon_{j}=e_{j}+e_{j+1}, 1\le j \le n-1$ et $\epsilon_{n}=e_{n}+e_{1}$. Montrer les résultats suivants :

$S_{3}$ libre $\Rightarrow$ $S_{1}$ libre.

$n$ impair : $S_{3}$ libre $\Leftrightarrow$ $S_{1}$ libre.

$n$ pair : $S_{3}$ lié.