Soit \(D\) une droite et \(P\) un plan, \(u\) un vecteur directeur de \(D\). Si le vecteur \(u\) appartient au plan \(P\) alors \(D\subset P\) et les espaces ne sont pas supplémentaires (ils n’engendrent pas tout \(\Rr^3\)). Si \(u \notin P\) alors d’une part \(D\cap P\) est juste le vecteur nul d’autre part \(D\) et \(P\) engendrent tout \(\Rr^3\) ; \(D\) et \(P\) sont supplémentaires.

Détaillons un exemple : si \(P\) est le plan d’équation \(z=0\) alors il est engendré par les deux vecteurs \(v=(1,0,0)\) et \(w=(0,1,0)\). Soit \(D\) une droite de vecteur directeur \(u=(a,b,c)\).

Alors \(u \notin P \iff u \notin \text{Vect}\{v,w\} \iff c \neq 0\). Dans ce cas on bien que d’une part que \(D = \text{Vect}\{ u\}\) intersecté avec \(P\) est réduit au vecteur nul. Ainsi \(D\cap P = \{(0,0,0)\}\). Et d’autre part tout vecteur \((x,y,z)\in \Rr^3\) appartient à \(D+P = \text{Vect}\{u,v,w\}\). Il suffit de remarquer que \((x,y,z) - \frac zc (a,b,c) = (x-\frac{za}{c},y-\frac{zb}{c},0) = (x-\frac{za}{c}) (1,0,0) + (y-\frac{zb}{c})(0,1,0)\). Et ainsi \((x,y,z)= \frac zc u + (x-\frac{za}{c}) v + (y-\frac{zb}{c}) w\). Donc \(D+P = \Rr^3\).

Bilan on a bien \(D\oplus P = \Rr^3\) : \(D\) et \(P\) sont en somme directe.

exo7 6871