Soit $D$ une droite et $P$ un plan, $u$ un vecteur directeur de $D$ . Si le vecteur $u$ appartient au plan $P$ alors $D\subset P$ et les espaces ne sont pas supplémentaires (ils n’engendrent pas tout $\Rr^3$ ). Si $u \notin P$ alors d’une part $D\cap P$ est juste le vecteur nul d’autre part $D$ et $P$ engendrent tout $\Rr^3$ ; $D$ et $P$ sont supplémentaires.

Détaillons un exemple : si $P$ est le plan d’équation $z=0$ alors il est engendré par les deux vecteurs $v=(1,0,0)$ et $w=(0,1,0)$ . Soit $D$ une droite de vecteur directeur $u=(a,b,c)$ .

Alors $u \notin P \iff u \notin \text{Vect}\{v,w\} \iff c \neq 0$ . Dans ce cas on bien que d’une part que $D = \text{Vect}\{ u\}$ intersecté avec $P$ est réduit au vecteur nul. Ainsi $D\cap P = \{(0,0,0)\}$ . Et d’autre part tout vecteur $(x,y,z)\in \Rr^3$ appartient à $D+P = \text{Vect}\{u,v,w\}$ . Il suffit de remarquer que $(x,y,z) - \frac zc (a,b,c) = (x-\frac{za}{c},y-\frac{zb}{c},0) = (x-\frac{za}{c}) (1,0,0) + (y-\frac{zb}{c})(0,1,0)$ . Et ainsi $(x,y,z)= \frac zc u + (x-\frac{za}{c}) v + (y-\frac{zb}{c}) w$ . Donc $D+P = \Rr^3$ .

Bilan on a bien $D\oplus P = \Rr^3$ : $D$ et $P$ sont en somme directe.

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