\(f\) est définie, continue et dérivable sur \(\R\) comme quotient de fonctions dérivables (\(\exp\)) dont le dénominateur ne s’annule pas. On a : \[\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\eu{x}}{\eu{x}+1} = 0 \quad\text{par quotient} \qeq \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\eu{x}}{\eu{x}+1}=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{1+\eu{-x}} = 1 \quad \text{par quotient}\] La courbe de \(f\) admet donc deux asymptotes horizontales, une d’équation \(y=0\) au voisinage de \(-\infty\), et une d’équation \(y=1\) au voisinage de \(+\infty\).
Pour tout réel \(x\), \[\begin{aligned} f'(x) &=& \frac{\eu{x}(\eu{x}+1) - \eu{x}(\eu{x})}{(\eu{x}+1)^2}\\ &=& \frac{\eu{x}}{(\eu{x}+1)^2} \end{aligned}\] \(f'\) est strictement positive sur \(\R\), et donc \(f\) est strictement croissante sur \(\R\). On obtient le tableau de variations suivante :

et la courbe représentative suivante :

\(g : x \donne \eu{\frac{1}{x}\ln(x)}\) est définie et dérivable sur \(\R^*_+\) comme composée de la fonction \(x\donne \frac{\ln(x)}{x}\) et de l’exponentielle.
Par quotient, \(\ds{\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\ln(x)}{x} = -\infty}\). Par composée, \[\lim_{x\rightarrow 0^+} g(x)=0\] De même, par croissance comparée, \(\ds{\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0}\). Par composée, \[\lim_{x\rightarrow +\infty} g(x)=1\] Pour tout réel \(x>0\), on pose \(\ds{u(x)=\frac{\ln(x)}{x}}\). Par quotient, \[u'(x) = \frac{\frac{1}{x}x-\ln(x)(1)}{x^2}=\frac{1-\ln(x)}{x^2}\] et par composée : \[\begin{aligned} g'(x) &=& u'(x) \eu{u(x)} \\ &=& \frac{1-\ln(x)}{x^2} \eu{\frac{\ln(x)}{x}} \end{aligned}\] Puisque pour tout \(x>0\), \(\ds{\eu{\frac{\ln(x)}{x}}>0}\), \(g'\) est du signe de \(\ds{\frac{1-\ln(x)}{x^2}}\), donc de \(1-\ln(x)\). Or \[\begin{aligned} 1-\ln(x) > 0 &\Leftrightarrow& 1> \ln(x) \\ &\Leftrightarrow& \mathrm{e} > x \quad \text{par stricte croissance de $\ln$} \end{aligned}\] avec \(\ds{g(\mathrm{e}) = \eu{\frac{\ln(\mathrm{e})}{\mathrm{e}}} = \mathrm{e}^\frac{1}{\mathrm{e}}}\). Ainsi, on dispose du tableau de variation suivant :

et de la courbe représentative suivante :

\(h\) est définie et dérivable sur \(\R\) par somme de deux fonctions dérivables. Sa dérivée est \[h':x\mapsto \frac{\eu{x}-\eu{-x}}{2}\] dont le signe est, en utilisant la croissance de la fonction \(\ln\) : \[\eu{x}-\eu{-x}\geq 0 \iff \eu{x}\geq \eu{-x}\iff x\geq -x \iff x\geq 0.\] Par somme et produit \[~\lim_{x\to -\infty} h(x) =\lim_{x\to +\infty} h(x) = +\infty.\] On obtient le tableau suivant :

et la courbe représentative :

Enfin, \(i\) est définie sur \(\R \setminus \left \{ -\sqrt{3}, \, \sqrt{3} \right \}\) et y est dérivable. Par factorisation classique : \[\lim_{x\to -\infty} i(x)= -\infty \qeq \lim_{x\to +\infty} i(x)=+\infty.\] Enfin, \[\lim_{x\to (\sqrt{3})^+} 2x^2-6= 0^+,\quad \lim_{x\to (\sqrt{3})^-} 2x^2-6= 0^-, \lim_{x\to (-\sqrt{3})^+} 2x^2-6= 0^-,\quad \lim_{x\to (-\sqrt{3})^-} 2x^2-6= 0^+ ,\] et \[\lim_{x\to \sqrt{3}} x^3+x^2-2x-3=\sqrt{3} \qeq \lim_{x\to -\sqrt{3}} x^3+x^2-2x-3=-\sqrt{3}.\] et par quotient : \[\lim_{x\to (-\sqrt{3})^-} i(x) = -\infty,\quad \lim_{x\to (-\sqrt{3})^+} i(x) = +\infty,\quad \lim_{x\to (\sqrt{3})^-} i(x) = -\infty,\qeq \lim_{x\to (\sqrt{3})^+} i(x) = +\infty\] La dérivée de \(i\) est \[x\donne \frac{(3x^2+2x-2)(2x^2-6)-(x^3+x^2-2x-3)(4x)}{(2x^2-6)^2} = \frac{2(x^4-7x^2+6)}{(2x^2-6)^2}\] On détermine le signe de \(x^4-7x^2+6\) par la méthode classique. On pose \(X=x^2\). Les solutions de \(X^2-7X+6\) sont \(6\) et \(1\). On peut alors écrire \[x^4-7x^2+6 = (x-1)(x+1)(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6}).\] Le tableau de signe est alors

On en déduit le tableau de variations suivant :

et la courbe représentative suivante, avec ses asymptotes :

Études de fonctions